Wyznaczanie odległości ogniskowych soczewek za pomocą ławy optycznej

 

Wstęp teoretyczny:

 

Soczewką  nazywamy ciało przezroczyste ograniczone dwiema powierzchniami kulistymi (wypukłymi  lub wklęsłymi )  lub jedną powierzchnią  kulistą  a  jedną  płaską. Promieniami  krzywizn  soczewki  nazywamy  promienie  kul ,  których  częściami    powierzchnie  ograniczające  soczewkę ,  natomiast  środki  tych  kul  nazywamy  środkami  krzywizn  soczewki.  Przy  opisie  soczewek  przyjmujemy ,  że  promienie  krzywizny  wypukłych  powierzchni  soczewki    wielkościami  dodatnimi ,  a  promienie  krzywizny  wklęsłych  powierzchni  soczewki  -  wielkościami  ujemnymi.  Powierzchnia  płaska  posiada  nieskończony  promień  krzywizny.  Główną  osią  optyczną  soczewki  nazywamy  prostą  przechodzącą  przez  środki  krzywizny  obydwu  powierzchni.  Soczewkę  nazywamy  cienką ,  jeżeli  jej  grubość  jest  znacznie  mniejsza  od  promieni  krzywizny  powierzchni  ograniczającej  soczewkę  i  dalej  będę  rozpatrywał  tylko  takie  soczewki.  W  soczewce  cienkiej  można  uznać ,  że  punkty  przecięcia  głównej  osi  optycznej  z  obu  powierzchniami  soczewki  przypadają  praktycznie  w  tym  samym  punkcie  zwanym  środkiem  soczewki.

 

 

            Soczewkę  nazywamy  skupiającą ,  jeżeli  promienie  równoległe  do  głównej  osi  optycznej  po  przejściu  przez  soczewkę  odchylają  się  ku  osi ,  rozpraszającą  -  jeżeli  promienie  równoległe  do  głównej  osi  optycznej  po  przejściu  przez  soczewkę  odchylają  się  od  osi.  Promienie  przyosiowe (padające  pod  niewielkim  kątem  na  powierzchnię  soczewki  w  pobliżu  jej  środka ) biegnące  równolegle  do  głównej  osi  optycznej ,  po  przejściu  przez  soczewkę  zbierającą  skupiają  się  w  jednym  punkcie ( F ) zwanym  ogniskiem  soczewki.  Pozorne  ognisko  soczewki  rozpraszającej  wyznaczają  wsteczne  przedłużenia  promieni  rozproszonych   przez  soczewkę.  Każda  soczewka  ma  dwa  ogniska  położone  w  równych  odległościach  po  obu  stronach  soczewki.

            Odległość  ( f ) ogniska  od  środka  soczewki  nazywamy  ogniskową  soczewki.  Wartość  ogniskowej  soczewki  określona  jest  wzorem:

                           

                                               f  -  ogniskowa  soczewki

                                                r1 ,  r2-  promienie  krzywizn  soczewek

                                               ns -  współczynnik  załamania  materiału  soczewki

                                               no - współczynnik  załamania  otaczającego  ośrodka

 

  

         Soczewka  skupiająca                                                  Soczewka  rozpraszająca

 

 

            Dla  soczewek  skupiających  f > 0 ,  dla  rozpraszających  f > 0.  Z  wcześniej  podanego  wzoru  wynika,  że  o  rodzaju  soczewki ( skupiająca ,  rozpraszająca ) decyduje  zarówno  geometria  soczewki  oraz  rodzaj  materiału ( ns ) ,  z  którego  wykonano  soczewkę  i  ośrodek (no ) ,  w  którym  soczewka  jest  umieszczona.

            Za  pomocą  soczewek  skupiających  otrzymujemy  obrazy  rzeczywiste  -  powstające  w  wyniku  przecięcia  promieni ,  lub  urojone ( pozorne ) -  powstające  w  wyniku  przecięcia  przedłużeń  promieni.  Soczewki  rozpraszające  pozwalają  otrzymać  tylko  obraz  pozorny  przedmiotu.

Wyznaczanie  ogniskowej  soczewki  z  wielkości  powiększonego  i  pomniejszonego  obrazu:

 

                Pomiędzy  odległością ( x ) przedmiotu ( AB ) od  soczewki ,  odległością ( y ) obrazu ( A’B’ ) od  soczewki  oraz  ogniskową ( f ) soczewki  istnieje  następujący  związek:

 

 

Jeżeli  za  pomocą  soczewki  otrzymamy  obraz  rzeczywisty ,  to  odległość  przedmiotu  od  obrazu  spełnia  warunek:

 

 

Powiększeniem  liniowym  obrazu ( p ) nazywamy  stosunek  rozmiarów  liniowych  obrazu  do  rozmiarów  liniowych  przedmiotu. Wyraża  się  on  wzorem:

 

 

                                                                                  AB - wielkość  przedmiotu

                                                                                  A’B’ - wielkość  obrazu tego  przedmiotu

                                                                          y - odległość  obrazu  od  soczewki

                                                                          x - odległość  przedmiotu  od  soczewki

 

Z  tych  wzorów  wynika  następująca  zależność  na  ogniskową  soczewki:

 

 

                                                                L - wielkość  przedmiotu

             L’ - wielkość  obrazu

 y - odległość  obrazu  od  soczewki

 

            Przesuwając  soczewkę  wzdłuż  ławy  optycznej  otrzymujemy  ostry (powiększony ) obraz  przedmiotu na  ekranie.   Mierzymy  wielkość  przedmiotu  L ,  wielkość  obrazu  L’  oraz  odległość  y  obrazu  od  soczewki. 

Z  wyżej  podanego  wzoru  obliczamy  wartość  ogniskowej  soczewki.  Wykonujemy  kilka  pomiarów  dla  różnych  odległości  soczewki  od  ekranu.

 

Wyznaczanie  ogniskowej  soczewek  metodą  Bessela:

 

            Ustawiamy  na  ławie  optycznej  przedmiot ,  soczewkę  oraz  ekran  w  sposób  pokazany  na  rysunku.

                       

Niech  d  oznacza  odległość  przedmiotu  AB  od  ekranu  E.  Otrzymamy  wtedy  równanie  soczewki  następującej  postaci :

 

    

 

Wynika  stąd  wniosek ,  że  przy  stałej  odległości  d  istnieją  tylko  dwa  położenia  soczewki ,  przy  których  powstanie  ostry  obraz  przedmiotu.  Oba  te  rozwiązania  mają  sens  tylko  wówczas  d2 - 4f  > 0 ,  czyli  d > 4f.      Gdy  d = 4f  istnieje  tylko  jedno  położenie  soczewki ,  przy  którym  powstanie  ostry  obraz ( x = y = 2f ) .

W  metodzie  Bessela dążymy  do  otrzymania  dwu  położeń  soczewki  odpowiadających  ostrym  obrazom  przy  stałym  d ,  a  więc  d > 4f .  Odległości  przedmiotu  od  soczewki    odpowiednio  równe  x  i  x’.  Oznaczając  odległość  między  tymi  dwoma  położeniami  soczewki ( patrz  rysunek ) przez  l  oraz  uwzględniając  wyżej  wypisane  wzory  ( określające  odległość  soczewki  od  przedmiotu ,  gdy  obraz  na  ekranie  był  ostry ) otrzymujemy:

 

 

 

Otrzymaliśmy  więc  końcową  zależność  ogniskowej  od  odległości  przedmiotu  od  ekranu  oraz  różnicy  odległości  pomiędzy  przedmiotem  a  soczewką  w  jej  dwóch  szczególnych  położeniach.

Zgodnie z definicją odległości ogniskowej jest to odległość od soczewki do punktu, w którym skupiają się promienie przyosiowe, równoległe do osi optycznej soczewki po przejściu przez nią. Podobnie jak odległość od soczewki do punktu, w którym umieszczony przedmiot daje obraz w nieskończoności. Załamanie promieni świetlnych w soczewce wynika bezpośrednio z różnicy gęstości dwóch ośrodków np. szkła i powietrza. Fale świetlne o różnej długości załamują się w tej samej soczewce pod różnymi kątami, jednakże efekt ten jest minimalny i jego wpływ na pomiary pominięto.

 

wyznaczanie  ogniskowej  soczewek  rozraszających  metodą  bessela:

            Bezpośrednie  wyznaczenie  ogniskowej  soczewki  rozpraszającej  metodą  Bessela  jest  niemożliwe  ponieważ  soczewka  rozpraszająca  nie  daje  obrazów  rzeczywistych.  Aby  wyznaczyć  ogniskową  tej  soczeweki ( f1 ) należy  zestawić    z  soczewką  skupiającą  o  znanej  ogniskowej ( f2 ) tak  aby  układ  tych  dwóch  soczewek  był  układem  skupiającym ( |f2| < |f1| ).  Zdolność  skupiającą  tego  układu  soczewek  cienkich ( f12 ),  które  mają  wspólną    optyczną  jest  opisana  zależnością:

 

       h - odległość  pomiędzy  soczewkami

 

stąd  otrzymujemy  wzór  na  ogniskową  soczewki  rozpraszającej:

 

            

[PR1] 

Ogniskową  układu  uzyskujemy  stosując  metodę  Bessela.

schemat budowy ławy optycznej

 

1. Opis ćwiczenia.

    Ogniskową badanych soczewek należało wyznaczyć następującymi metodami :

       (a) pomiar odległości przedmiotu i obrazu od soczewki-na ławie optycznej umieszczono świecący przedmiot , ekran oraz soczewkę skupiającą . Prze-suwając soczewkę wzdłuż ławy optycznej starano się otrzymać na ekranie ostry obraz przedmiotu ,

.

       (b) z wielkości powiększonego obrazu-układ jak powyższy lecz mierzono wielkość przedmiotu , wielkość obrazu oraz odległość obrazu od soczewki ,

.

       (c) metoda Bessela- przy stałej odległości przedmiotu od ekranu istnieją dwa położenia soczewki , przy których powstanie ostry obraz przedmiotu . Należało znaleźć te odległości .

      (d) wyznaczanie ogniskowej soczewki rozpraszającej-w celu wykonania pomiarów należało zestawić soczewkę rozpraszającą ze skupiającą tak aby w sumie utworzyły układ skupiający (istotny był dobór soczewki skupiającej o odpowiedniej ogniskowej ½ f2½ <½ f1½) . Znając ogniskowe : soczewki skupiającej i układu soczewek można było wyznaczyć ogniskową soczewki rozpraszającej . 

 

TABELA WYNIKÓW POMIARÓW

 

I

 

x[mm]   ą1[mm]

y[mm]   ą1[mm]

250

500

250

490

250

510

250

505

250

495

x – odległość przedmiotu od soczewki

y – odległość obrazu od soczewki

 

II

 

D1=+100                     x=138,9[mm]

D2=-100                      y=94,0[mm]

A’B’=8[mm]               AB=12[mm]

 

D – zdolność zbierająca soczewki

 

III

 

A’B’=39[mm]

AB=12[mm]

a=116[mm]

 

IV

 

e=715[mm]

a1=252[mm]

a2=139[mm]

 

e – odległość między ekranem a przedmiotem

a1 – położenie przedmiotu dla obrazu powiększonego

a2 – położenie przedmiotu dla obrazu pomniejszonego


OBLICZENIA

 

1)      dla soczewki zbierającej D=+100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)      dla układu soczewek

 

a) D1=+100

 

                            h - wysokość obrazu A’B’      

 

 

b) ze wzoru

 

 

Obliczam ogniskową soczewki rozpraszającej

 

         

 

 

3)      wyznaczenie ogniskowej soczewki zbierającej z wielkości powiększonego obrazu

 

 

 

 

 

4)      metoda Bessela

 

 

 

 

 

 

RACHUNEK BŁĘDÓW

 

I metoda

 

 

 

fi

fśr-fi

(fśr-fi)2

166,67

-0,01

0,0001

165,54

1,12

1,2515

167,76

-1,1

1,21

167,22

-0,56

0,3128

166,11

0,55

0,3046

 

 

 

 

 

II metoda

 

a)

 

 

dx=dy=dh=1[mm]

 

 

 

 

 

 

 

 

b)

 

 

df2=dfn=1[mm]

 

 

 

 

 

 

III metoda

 

 

 

 

 

 

 

 

IV metoda Bessela

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ZESTAWIENIE WYNIKÓW

 

 

 

 

 

 

 

 

WNIOSKI

 

Błędy popełnione w trakcie wykonywania tego ćwiczenia są spowodowane małą dokładnością przyrządu pomiarowego (linijka), małą dokładnością odczytów pomiarów oraz indywidualnymi własnościami oka obserwatora. Najdokładniejszą okazała się metoda I – błąd wynosi tutaj 0,2%, natomiast najmniej dokładną jest metoda III – błąd stanowi tutaj 3,4%

 

 

 

 


 [PR1]